Je suis très heureux de clore cette université d’été et de pouvoir présenter ici certains ponts entre mathématiques et littérature





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titreJe suis très heureux de clore cette université d’été et de pouvoir présenter ici certains ponts entre mathématiques et littérature
date de publication24.04.2017
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Je suis très heureux de clore cette université d’été et de pouvoir présenter ici certains ponts entre mathématiques et littérature.

Que sont les mathématiques ? Ce n’est certainement pas ici que je le dirai. Mais comment peuvent-elles servir de support à l’écrit ? Avant tout par les structures. Un nombre n’est rien en tant que tel. Un nombre n’est rien s’il n’est pas inséré dans un ensemble qui, lui, présente un intérêt.
« Arithmétique ! Algèbre ! Géométrie ! Trinité grandiose ! Triangle lumineux ! Celui qui ne vous a pas connues est un insensé ! » s’exclame Lautréamont dans les Chants de Maldoror. Or je crois que ce sont précisément les axes majeurs des liens potentiels entre mathématiques et littérature. Ou du moins dans l’ordre suivant : Algèbre ! et toutes les structures qu’elle propose. Arithmétique ! ou l’agencement et les intrications mutuelles des nombres. Géométrie ! ou les formes et leurs mystères.
Dès la naissance de l’Oulipo, lors de la décade de Cerisy-la-Salle en septembre1960, il était entendu que les mathématiciens seraient systématiquement associés aux écrivains au sein même de l’Oulipo. Que l’Oulipo réunirait des mathématiciens exclusifs, des écrivains exclusifs, des écrivains-mathématiciens et des mathématiciens-écrivains.
Les deux instigateurs eux-mêmes étaient, non pas des mathématiciens professionnels, mais assez experts et l’un et l’autre en mathématiques et plus généralement en sciences. La bibliothèque de FLL (1901-1984) possédait deux mille ouvrages de mathématiques, et plus encore (deux mille cinq cents) sur les échecs. FLL est un immense lecteur, un très puissant penseur, un homme à la mémoire prodigieuse, capable par exemple de décrire les principaux tableaux du musée du Louvre plus précisément et plus exactement que ceux qui ont ces mêmes tableaux devant les yeux. FLL est lecteur forcené, homme de science, curieux à l’extrême, infatigable. FLL est la figure de l’intelligence en mouvement. FLL est un homme des Lumières. Pour lui, rien ne compte tant que l’écrit. Quand il a du temps, FLL lit trois ouvrages par jour. Et il écrit entre 1939 et 1981 cinq ouvrages sur les échecs, et en 1983, un an avant sa mort Les nombres remarquables, anthologie de nombres, classés par ordre croissant, sorte de répertoire de nombres qui présentent un intérêt ou une spécificité du point de vue mathématique. Un peu auparavant, en 1979, c’est sous sa direction que paraît le Dictionnaire des mathématiques d’Alain Bouvier et Michel George.

Beaucoup plus tôt, dès avant-guerre, sous l’instigation de son ami l’éditeur Jean Ballard, FLL dessine les grandes rubriques de Les grands courants de la pensée mathématique commencé pendant la guerre et qui, sous des noms prestigieux comme Élie Cartan, Émile Borel, Georges Valiron, Jean Dieudonné, André Weil, Louis de Broglie, Roger Godement, Le Corbusier, etc. collecte des articles sur les mathématiques, sous les angles historique, culturel, philosophique et esthétique. FLL écrit lui-même le chapitre intitulé La beauté en Mathématiques, où il tente de faire une distinction entre beauté classique et beauté romantique, aussi bien dans les faits mathématiques que dans les méthodes. FLL, résistant actif durant la guerre, a été déporté au camp allemand de Dora en 1944, près de Büchenwald, où les déportés construisaient dans une usine souterraine, les fameuses fusées V2 censées apporter au IIIème Reich la victoire finale : Le Lionnais en est miraculeusement revenu. Sur cette période, il a écrit un très court et admirable ouvrage intitulé La peinture à Dora dans lequel il démontre la force de la pensée qui permet à un petit groupe de prisonniers retenus dans les conditions les plus terribles de s’évader mentalement par le biais d’une « université de camp », dans laquelle FLL prodiguait seul, durant les interminables heures d’appel des quelque 20000 déportés, matin et soir, des cours de mathématiques, de sciences, d’histoire et d’art et plus particulièrement de peinture. Dans l’ouvrage Autour de la plage Bonaparte, le Colonel Rémy publie un long entretien avec FLL qui relate l’arrestation et la déportation de FLL jusqu’à la libération des camps. Dans cet entretien ahurissant, stupéfiant et éblouissant, on voit FLL, figure d’intellectuel ne vivant que pour l’Écrit et qui par deux fois durant cette terrible période est sauvé, arraché à la mort par le Livre.
Quant à RQ (1903 – 1976) [A], s’il accède à la célébrité dès la parution de Zazie dans le métro en 1959, il est moins connu pour ses recherches en mathématiques.

Cent mille milliards de poèmes, [A] écrit en 1961, associe la combinatoire et la littérature. Dix sonnets sont composés de sorte que le premier vers de l’un quelconque de ces sonnets puisse se combiner avec n’importe quel second vers et ainsi de suite. L’ouvrage ainsi constitué est, par la magie de la combinatoire, le plus volumineux de toute la littérature, puisqu’il est constitué de 10^14 sonnets ! Comme l’écrit RQ dans sa préface : « En comptant 45 s pour lire un sonnet et 15 s pour changer les volets, à 8h par jour, 200 jours par an on a our un million de siècles de lecture, et en lisant toute la journée 365 jours par an, pour : 190 258 751 années plus quelques plombes et broquilles (sans tenir compte des années bissextiles et autres détails). Comme l’a dit Lautréamont, la poésie doit être faite par tous, non par un. » Et RQ répond ainsi parfaitement aux objectifs de potentialité de l’Oulipo.
Mais ce sont également les suites queneauiennes (cf RQ : Note aux CRAS (présentée par André Lichnerowicz le 6 mai 1968), tome 226 A, p. 957, 1968, et Sur les suites S-additives, Journal of Combinatorial Theory (12, p. 31, 1972)). Plus précisément, [A] Une suite 0-additive est définie comme suit : on part d’une suite finie strictement croissante de k entiers, a_1,…, a_k (cette suite finie est appelée la base de la suite de Queneau), et pour tout entier n > k, a_n est le plus petit entier supérieur ou égal à a_(n-1) et ne pouvant pas s’écrire comme somme de deux termes distincts de la suite, de rangs inférieurs à (n-1). RQ a démontré la périodicité des différences successives des suites 0-additives de bases (1,n) et (2,n) On conjecture que quelle que soit la base, ces différences sont toujours périodiques, mais cela n’a pas été démontré à ce jour. Puis on définit les suites S-additives de la façon analogue suivante [A] : on part d’une suite finie strictement croissante de k entiers, a_1,…, a_k (cette suite finie est appelée la base de la suite de Queneau), et pour tout entier n > k, a_n est le plus petit entier supérieur ou égal à a_(n-1) qui peut s’écrire de S façons différentes comme somme de deux termes distincts de la suite, de rangs inférieurs à (n-1).
Au moment de créer l’Oulipo, FLL et RQ avaient très certainement en tête le cas du surréalisme, de ses envolées fracassantes, de ses exclusions spectaculaires : voilà ce qu’ils voulaient éviter. Aussi, les règles qui présidèrent à la naissance de l’Oulipo allèrent-elles en ce sens (démission et éviction interdites). Or le troisième instigateur, si j’ose dire car c’est une personne morale, mais qu’il est nécessaire d’appréhender pour quiconque veut comprendre l’Oulipo en général, est Nicolas Bourbaki. Et Bourbaki agit alors comme modèle : le groupe Nicolas Bourbaki, fondé en 1935, s’était donné comme tâche la réécriture entière et totale des mathématiques, pensées de la façon la plus formelle possible, afin de leur conférer une unité nouvelle et une intégralité jamais atteinte à ce jour. Tâche immense et en grande partie remplie par le groupe qui publie une quarantaine de volumes sous le nom en forme d’oxymore de Les éléments de Mathématiques. Le groupe compte parmi ses membres André Weil, Henri Cartan, Alexander Grothendieck, Laurent Schwartz, Jean-Pierre Serre, Jean Dieudonné, Szolem Mandelbrojt, Claude Chevalley…

Le formalisme de Bourbaki agit toujours dans la pensée de JR, qui ne cesse de transposer en littérature des formes et des modèles mathématiques.
Une des premières inventions de l’Oulipo est la méthode S+7 trouvée par Jean Lescure en 1961 : dans un texte donné, remplacer tous les substantifs par le septième qui le suit dans un dictionnaire donné. Pourquoi le septième ? Pour sortir du champ lexical de référence et donner un autre ton. Voilà qui est évidemment fort simple. Il ne s’agit pas d’une réelle contrainte mais bien plus d’une procédure qu’un programme informatique traiterait très aisément. Comme le remarque JR, à cette époque, on s’intéressait essentiellement à la transformation mathématique (ici la translation) bien plus qu’au texte produit. Par la suite, à l’Oulipo, on allait privilégier l’objet final. Voici une fameuse illustration de la méthode S+7. [A]

Tellement fameuse qu’à l’Oulipo, La cimaise et la fraction sont de véritables référents. Cela a donné l’idée à HLT d’écrire un poème dont le titre est La ciamise et la fraction, pensé comme une fable de La Fontaine et qui met en jeu une cimaise et une fraction. Voici donc ce texte. [A]
L’Oulipo, à l’instar de Bourbaki mentionné plus haut, se devait à tout le moins de présenter un travail taxinomiste : ce fut la Table de Queneleiev (1974). Cette table à double entrée présente d’un côté les objets linguistiques (lettres, signes, phonèmes, syllabes, mots, locutions, phrases, paragraphes), et de l’autre des caractéristiques de ces objets, tels la longueur, le nombre, l’ordre. Ainsi, par exemple au croisement de la lettre et de l’ordre, on trouvera l’anagramme. Au croisement mot et longueur, on trouvera les textes mnémotechniques de la forme « Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages,… ». Ce tableau était un bon début. Sous l’impulsion de Marcel Bénabou en 1983, fut conçu un second tableau [A] intitulé TOLLÉ, acronyme de Table des Opérations Linguistiques Littéraires Élémentaires. Cette fois-ci, étaient confrontés dans la TOLLÉ les objets linguistiques d’une part, et les opérations possibles sur ces objets d’autre part (déplacement, substitution, addition, soustraction, multiplication, division, prélèvement, contraction). L’un des premiers objectifs de l’Oulipo fut alors de remplir entièrement le tableau TOLLÉ. Au croisement du phonème et de la multiplication par exemple, se trouve l’allitération, du phonème et du déplacement : le contrepet, etc. Précisons à cet endroit que le spécialiste du contrepet était Luc Étienne, membre de l’Oulipo, qui a écrit un traité sur le sujet, qui fut l’inventeur de l’Album de la Comtesse dans le Canard enchaîné. Mais j’ajoute qu’il n’y avait rien de salace dans la démarche de Luc Étienne : c’était un universitaire, joueur de mots, professionnel de l’interversion de phonèmes et qui ne voyait là qu’un simple jeu mathématique, avec obligation de passer dans un champ imposé, celui des mots coquins de notre langue. Une autre invention de Luc Étienne fut le palindrome phonétique. Ainsi, il composa un texte très contraint, l’enregistra au magnétophone, puis passa la bande à l’envers pour obtenir un texte voisin, légèrement différent. Au sein du texte initial, de nombreux palindromes phonétiques parfaits comme ceux dont je donne la liste ici [A].
Parmi les membres fondateurs de l’Oulipo, Claude Berge [A] est le spécialiste bien connu de Théorie des Graphes. Claude Berge fournira à l’Oulipo deux applications importantes que je voudrais ici présenter.

Le principe de la Princesse Aztèque est fondé sur la division : ainsi, il est possible avec 10 billets de banque en prélevant un onzième de chacun d’entre eux d’en fabriquer de toutes pièces un onzième. Pour éviter les collages multiples, surtout du onzième billet composé de dix onzièmes d’autres billets, on peut couper en deux chaque billet en déplaçant progressivement la ligne de coupe pour obtenir finalement onze billets coupés chacun en deux en des endroits tous différents. Ce principe est réexploité à des fins ludiques dans le jeu des lutins. [A] Recette : prenez ces lutins, comptez-les, coupez la moitié supérieure du dessin, coupez la partie supérieure verticalement en deux moitiés, [A] intervertissez les deux moitiés et replacez-les sur la partie horizontale fixe. [A] Recomptez : on parvient à un ensemble de treize lutins. Claude Berge reprend ce principe avec un sonnet de 14 vers (comme le sont souvent les sonnets). [A] Je prends le même principe avec un dessin plus simple [A]

Et voici la superbe illustration littéraire qu’en a donné CB. Il part d’un sonnet (dont il est le très habile auteur) qui a pour titre La Princesse Aztèque. [A] Il le coupe verticalement, coupe la moitié droite horizontalement en deux parties, intervertit ces deux parties, rose et bleue, et les recolle à droite du sonnet initial : [A] on obtient un sonnet de 15 vers. Et quand je dis sonnet, il s’agit bien d’alexandrins de 12 pieds parfaitement comptés. CB n’a pas joué sur la coupe de Banach-Tarski, on s’en doute aisément, pour faire apparaître douze pieds supplémentaires au sonnet de départ.

Comme le texte global n’a pas changé, CB joue sur les diérèses (le sonnet initial n’est compté qu’en synérèse et le sonnet final qu’en diérèse) d’une part, et d’autre part sur les e muets, tous absents du sonnet initial alors que les e sont comptés dans le sonnet final.
La deuxième application strictement mathématique de CB est Qui a tué le Duc de Densmore ? Il s’agit d’une nouvelle policière (écrite en 1994, BO 67, publiée dans le volume 5 de la Bibliothèque Oulipienne, au Castor Astral), qui voit le Duc assassiné, et la présence en différents moments autour de lui de 8 femmes suspectes, nommées Anne, Betty, Cynthia, Diana, Emily, Felicia, Georgia, Helen, donc représentées respectivement par A, B, C, D, E, F, G, H. Comme dans le Service des Affaires Classées de Roy Vickers, l’affaire n’est pas élucidée et vite abandonnée. Ce n’est que bien plus tard, lorsqu’un jeune mathématicien rouvre le dossier et étudie les agendas des huit suspectes en consignant les dates de leurs passages respectifs et les présences simultanées dans la maison du Duc que la solution est trouvée [A]. Les sommets représentent les 8 femmes, l’arête [A,F] du graphe signifie que Anne et Felicia se sont trouvées en même temps chez le Duc, contrairement à Betty et Emily qui n’ont pas pu s’y voir.

En effet, la théorie des Graphes (et ici des graphes d’intervalles du mathématicien hongrois Hajos) permet de mettre en défaut le graphe des temps de rencontres mutuelles des huit femmes, de déterminer l’erreur et de démasquer la coupable : en effet, il n’est pas possible de trouver dans un graphe d’intervalles un triangle inscrit dans un hexagone, ici ACE dans ABCDEA, ni un cycle de longueur supérieure à 4 sans cordes, comme ABHG ou ACHG, ce qui prouve que A, seul sommet commun à ces figures fautives, est la coupable.

On saura ici que CB est en théorie des graphes un mathématicien extrêmement éminent. Il a notamment établi en 1960 deux fameuses conjectures, appelées conjectures des graphes parfaits. On peut dire qu’il existe deux sortes de grands mathématiciens : ceux qui démontrent des théorèmes réputés difficiles et ceux qui établissent des conjectures fameuses, et qui vont de ce fait faire progresser les mathématiques. Dans le cas de CB, il aura fallu quarante ans et plusieurs centaines d’articles pour parvenir à démontrer les conjectures des graphes parfaits. Ce qui fut annoncé en 2003 à CB sur son lit de mourant. Il eut alors (d’après Pierre Rosentiehl) un geste désabusé, qui l’emporta peut-être définitivement. Ainsi, ses conjectures n’avaient tenu « que quarante ans » ! Peut-être eût-il mieux valu lui cacher la réalité, le laisser partir avec l’idée de grandes années de recherche potentielle encore à venir grâce à lui.
JR [A] n’est évidemment pas de reste. Immense poète, érudit exceptionnel, il est professeur à l’université de Nanterre. Après avoir publié le début de la narration de la Princesse Hoppy dans la Bibliothèque Oulipienne (BO nos 2 & 7), JR publie l’intégralité de ce conte chez Hatier en 1990 (La Princesse Hoppy, ou le conte du Labrador, récemment republié aux éditions Absalon). Précisons qu’il ne s’agit nullement d’un conte pour enfants, même s’il en a l’apparence, et que cet ouvrage ressemble plus au Livre qui rend fou, de Raymond Smullyan, avec de fort nombreuses questions parfois fort ardues, posées au lecteur en fin de chapitres. Dans ce conte, la Princesse a quatre oncles qui sont tous rois. Et régulièrement, chaque roi rend visite à un roi pour comploter contre un roi. Et l’un des très nombreux objets du conte est de déterminer qui complote avec qui contre qui. En réalité, un certain nombre de règles de complotage sont édictées (« Quand un roi rendra visite à un autre roi, ils comploteront toujours contre le même roi. Et si deux rois distincts rendent visite à un même troisième, le premier ne complotera jamais contre le même roi que le deuxième. Contre tout roi enfin, il sera comploté au moins une fois l’an dans le bureau de chacun des rois »).

Ces règles confèrent à l’ensemble des 4 rois une structure de groupe, dont voici la loi [A]. Ainsi, lorsque le conte dit ceci [A] : « la princesse aurait bien voulu sa­voir, par exemple, si, étant donnés deux quelconques de ses oncles celui de ses oncles contre lequel complotait le pre­mier quand il rendait visite au deuxième était, ou non, le même que celui contre lequel complotait le deuxième quand il rendait visite au premier. « Oui » dit le chien. », le conte annonce la commutativité de tout groupe à quatre éléments, ce que sait bien le chien de la Princesse Hoppy. Ou bien, lorsque le conte dit [A] : « Le roi contre lequel complote le premier roi quand il rend visite au roi contre lequel complote le deuxième roi quand il rend visite au troisième doit être le même roi précisément contre lequel complote le roi contre lequel complote le premier roi quand il rend visite au deuxième, quand il rend visite au troisième », il annonce tout simplement l’associativité de la loi du groupe. Voilà un premier exemple d’ouvrage entièrement bâti sur une théorie mathématique, en l’occurrence la théorie des groupes.

Une anecdote concernant la Princesse Hoppy : à l’époque où l’Oulipo œuvrait en cachette du public, certains des membres avaient envisagé d’écrire selon un mode secret. Selon un code secret. Le jeune JR propose alors à FLL un code de sa composition et le lui expose. FLL éclate de rire en disant que la chose est beaucoup trop simple. Désappointé de cette réaction à sa proposition, JR met en œuvre son code secret : c’est le langage chien supérieur que parle par deux fois le chien dans la Princesse Hoppy. Eh bien aujourd’hui, au bout de plus de vingt années, aucun mathématicien (notamment les collègues de JR à Nanterre) n’a réussi à décrypter le langage chien supérieur ! [A] et ce n’est que très récemment que l’éditeur Dominique Fagnot des éditions Absalon, en composant l’ouvrage, a réussi à en percer le chiffrement !
Il y a bien entendu un autre ouvrage [A], bien plus célèbre que La Princesse Hoppy, et dont on ne sait pas toujours l’origine. En 1959, trois mathématiciens (Bose, Parker et Shrikhande) prouvent l’existence d’un carré gréco-latin d’ordre 10, c’est-à-dire d’un carré de dix cases sur dix tel que chaque case renferme une lettre grecque et une lettre latine de sorte que chaque colonne et chaque ligne comportent en abscisse et en ordonnée les n lettres et que les n^2 couples possibles soient tous présents dans le carré. C’est l’immense mathématicien Léonhard Euler qui avait au XVIIIème étudié ces carrés, et qui avait conjecturé leur non existence pour certaines valeurs de l’entier n.

En 1772 en effet, Euler se propose de ranger dans un carré 36 officiers venant de 6 villes de garnison et ayant 6 grades différents, en faisant de sorte que chaque ligne et chaque colonne du carré contienne à la fois les 6 villes et les 6 grades différents. Euler est en train d’inventer les carrés gréco-latins, qui deviendront plus tard les carrés eulériens, ce qui peut se formaliser de la façon suivante. Est-il possible de remplir les n^2 cellules d’un carré d’ordre n par des couples (i,j), i et j allant de 1 à n, de sorte que chaque ligne et chaque colonne du carré comprenne les n entiers en abscisse et les n entiers en ordonnée et que les n^2 couples possibles soient présents dans le carré ? En testant l’entier n = 2, on constate évidemment que la chose est impossible. En revanche, pour n impair, [A] la matrice (i + j – 1, 2i + j – 2), (i,j) décrivant [1,n] réduite modulo n, répond à la question. Cette méthode ne marche pas pour n pair, la double incrémentation des ordonnées dans chaque colonne ne permettant alors que de parcourir la moitié des entiers de 1 à n. Mais Euler parvient à trouver une méthode alternative lorsque n est un multiple de 4.

Restent les entiers congrus à 2 modulo 4 : 2 est impossible, et l’entier qui suit, 6, pose précisément le problème des 36 officiers. Euler ne parvenant pas à trouver de solution à ce problème émet la conjecture suivante : pour tout entier n congru à 2 modulo 4, il n’existe pas de carré gréco-latin d’ordre n. Cette conjecture résiste plus d’un siècle, le nombre de combinaison possibles étant très élevé. Et c’est Gaston Tarry qui prouve effectivement en 1900 l’impossibilité de la construction d’un carré eulérien d’ordre 6 (démonstration donnée dans les comptes rendus de l’Association française pour l’avancement des sciences, 1900 (Congrès de Paris), pp. 170-203.


Or donc, deux siècles après la conjecture, les trois mathématiciens Bose, Parker et Shrikhande exhibent le carré gréco-latin suivant d’ordre 10 [A] pour comprendre qu’il répond aux exigences initiales. Ceci infirme donc la conjecture d’Euler, d’autant qu’à partir de ce carré eulérien d’ordre 10, on peut construire des carrés eulériens d’ordre 4n + 2, pour tout entier n supérieur ou égal à 2. Finalement, on peut tout simplement énoncer : il existe des carrés eulériens de tout ordre n, sauf n = 2 et n = 6 qui constituent les seules exceptions.

Le carré eulérien d’ordre 10 tombe à grand fracas dans la mare mathématique et atterrit entre autres mains dans celles de Claude Berge qui, en 1967, en parle aux mathématiciens et écrivains de l’Oulipo, notamment JR et GP. Tous trois réfléchissent aux moyens possibles d’exploiter ce carré à des fins littéraires. Finalement, GP se lance. Mais l’idée est si savante et si complexe à mettre en œuvre qu’il faudra attendre 1978 pour que GP publie La vie mode d’emploi, roman entièrement conçu sur un objet mathématique, roman qui jamais n’aurait vu le jour si ces trois mathématiciens n’avaient exhibé cet étonnant objet en 1959.

L’idée première de GP est de raconter la vie des occupants d’un immeuble. Cet immeuble a dix niveaux, et dix appartements par niveau, ce qui fait qu’on peut le représenter par un carré de dix sur dix. Cent appartements, cent chapitres (ou à peu près). Alors le carré gréco-latin va imposer les éléments qui figureront obligatoirement dans chaque appartement. 42 items : couleur, forme, auteur, tissu, nombre, époque, style, bijou, nourriture, fleur, volume, etc. [A]

GP ne se serait pas permis de décrire les appartements successifs (un chapitre par appartement) de manière conventionnelle. Par conséquent, pas d’ordre naturel ou boustrophédon. Perec se souvient du jeu suivant, qui consiste à faire parcourir un échiquier par un cavalier, en passant par toutes les cases, et une seule fois sur chaque case. Il existe de fort nombreuses solutions à ce problème. Il teste alors la possibilité de parcourir un échiquier de 100 cases de cette même façon. Il y parvient selon l’itinéraire suivant, qu’il nomme la polygraphie du cavalier [A]. On peut aisément constater que le chapitre 15 consacre un appartement des combles, que le 64 se situe au sous-sol.
Voici une autre illustration de ce qu’on peut faire avec un carré eulérien, notamment un carré eulérien de voyelles (d’ordre 5) [A].
Une autre contribution importante des mathématiques à l’écriture nous provient du troubadour Arnaut Daniel [A] qui, à la fin du XIIème siècle invente et compose des sextines [A] : il s’agit de poèmes de six strophes de six vers chacune, dans lesquels les mots en fin de vers (mots clefs) tournent selon un algorithme bien particulier [A], chaque mot occupant les six places possibles au cours des six strophes. Cette forme sera reprise par Dante et par Pétrarque, plus tard par Ezra Pound, par RQ. On peut formaliser la méthode en disant qu’on passe d’une strophe à la suivante en appliquant aux mots-clefs une substitution s en spirale [A] . Oskar Pastior, le membre allemand de l’Oulipo représente la sextine par différents schémas [A], dont celui-ci.

Il s’agit d’une véritable invention, puisqu’il n’est plus question de rimes, mais seulement de mots de fin de vers, occupant des places déterminées. En réalité, ce qui détermine ces places, c’est une substitution s définie par [A]. Et cette permutation est d’ordre 6, ce qui fait que les mots-rimes 1, 2, 3, 4, 5, 6 prennent toutes les positions possibles dans les 6 strophes, assurant une idéale harmonie de la composition poétique [A]. En d’autres termes, l’orbite de chaque entier sous l’effet de s est de cardinal 6.

Plusieurs mathématiciens se sont intéressés à la sextine au début des années 60, notamment Tavera et Queneau, puis Roubaud. L’idée est de remplacer le nombre 6 par un nombre n. On obtient alors une n-ine, ou encore quenine, forgée sur le même mode de la sextine, sous forme de n strophes de n vers. Comme nous allons le voir, tous les nombres n ne permettent pas l’obtention d’une n-ine. On peut faire des monines pour n = 1(« Et l’unique cordeau des trompettes marines, superbe poème d’un vers, de Guillaume Apollinaire »), des bibines pour n = 2, des terines pour n = 3, des quinines pour n = 5, des sextines, des neuvines, etc. mais pas de « quatrine » !

RQ énonce (mais sans démonstration) le résultat suivant : si n est un entier de la forme n = 2xy + x + y, alors n n’est pas un nombre admissible.

JR s’attache à caractériser ces nombres qu’il nomme nombres de Queneau. JR compose une 26ine (poème dont les vers sont limités à une lettre de l’alphabet), et récemment JJ a écrit une trentine (900 vers). La sextine joue un rôle important dans la poétique de l’Oulipo, et particulièrement celle de JR. On sait en effet que c’est la sextine qui est au cœur des ouvrages Hortense de JR (La belle Hortense, L’enlèvement d’Hortense, L’exil d’Hortense sont les trois premiers romans d’une série qui devait en compter six et constituer une sextine de romans, tout comme 31 au cube est un tanka de tankas de tankas.

La permutation spirale de [1,n] est définie par [A].

La question revient à déterminer les entiers n pour lesquels s est une permutation d’ordre n [A].. La question a été étudiée par Monique Bringer, élève de JR, qui a donné des résultats partiels dès 1969, lesquels furent complétés en 2002 pour obtenir une caractérisation de ces nombres, appelés maintenant nombres de Queneau. Remarquons tout d’abord que si s est d’ordre n, alors les orbites des différents entiers sous l’action de s sont toutes d’ordre n.

L’idée initiale revient à étudier la permutation inverse de s, notée t [A]. On voit ici qu’appliquer t à l’entier k revient, au signe près, à le multiplier par 2 dans le groupe Z/(2n + 1)*, ce qui fait que la recherche des nombres de Queneau est liée à l’ordre de 2 dans ce groupe. Entrons dans le détail et supposons que 2n + 1 ait un diviseur strict q. Alors les itérés successifs de q par t sont divisibles par q, ce qui leur empêche de prendre toutes les valeurs possibles [A] : t n’est pas d’ordre n. Il en résulte qu’une condition nécessaire pour que n soit un nombre de Queneau est que 2n + 1 soit un nombre premier. Mais cette condition n’est pas suffisante : si n = 15 par exemple, alors 2n + 1 = 31 est premier, tandis que l’on vérifie simplement que s est d’ordre 5.

On retrouve ici le résultat de Queneau [A] : si n = 2xy + x + y, alors, 2n +1 = 4xy + 2x + 2y + 1 = (2x + 1)(2y + 1) n’est pas premier, et donc n n’est pas de Queneau.

Le résultat suivant a l’intérêt d’être une caractérisation des nombres de Queneau : [A]

Voici par exemple la liste des 31 nombres de Queneau inférieurs à 100 [A].
À la demande de la ville d’Excideuil, dans le Périgord, Jacques Jouet, de l’Oulipo,a composé des terines qui ont été gravées dans les bancs de bois de la ville. En voici une [A], avec une variation qui autorise le poète à utiliser des homophones des mots-rimes.
Je ne résiste pas à évoquer la boîte à idées de FLL. FLL, qui écrivait fort peu (il disait de lui-même qu’il avait une diarrhée d’idées, mais qu’il était constipé de la plume), consignait en revanche ses idées d’écriture potentielle. JJ, auteur de théâtre, poète, romancier, se saisit de l’idée du Théâtre Booléen, et je cite FLL :

« Une seule scène […] Deux pièces A et B complémentairement indépendantes et complètement différentes sont jouées en même temps et au même endroit. La plupart des acteurs de la pièces A sont donc amenés à parler en même temps que parlent des acteurs de la pièce B, les uneset les autres s’ignorant complètement, le jeu des uns se déroulant comme si les autres n’existaient pas. […] Sur cette base, on peut imaginer un grand nombre de combinaisons : une pièce comique en même temps qu’une pièce tragique, des pièces complémentaires ou parallèles […] et éventuellement une intersection de deux pièces. 

JJ et moi composons sur ce principe booléen Pas de deux, spectacle de théâtre qui imbrique deux pièces radicalement opposées (une comédie légère contemporaine, un drame du XVIII, un homme et une femme dans chacune des deux situations) se déroulant simultanément, en évitant seulement que se chevauchent les répliques. Après une longue scène d’exposition, apparaît Armand personnage commun aux deux pièces, les répliques duquel valant pour les deux. Ainsi, Armand est marquis et recherche sa femme en pleine forêt dans le drame, Armand est le compagnon comédien de l’héroïne dans la comédie, il joue dans un film, le tournage a lieu en forêt et sa première réplique est « Ah vous voilà ! Cela fait des heures que je tourne dans cette forêt ! »

Pas de deux, qui illustre l’intersection et la réunion (opérations fondamentales des algèbres de Boole) a été représentée en création au Centre Culturel de Vandœuvre le 23 octobre 2003, grâce à l’Institut Élie Cartan et au Laboratoire de Mathématiques de l’UHP Nancy I, et aussi à la volonté du théoricien des nombres Gérald Tenenbaum, de l’université de Nancy.

L’intérêt de Pas de deux ne réside dans aucune des deux pièces primaires, mais dans leur association, leur combinaison, laquelle conduit à une troisième pièce, fruit booléen des prémisses.
Ainsi les mathématiques demeurent-elles très présentes au sein des productions de l’Oulipo. Les nombres, les formes et les objets mathématiques agissent sur les lettres ou sur les éléments de l’écriture, non pas en général par leur simple valeur intrinsèque (même dans le cas de « Que j’aime à faire apprendre au piéton Paris » [A] dans lequel FC propose soixante-douze poèmes parisiens dont les nombres respectifs de vers correspondent aux décimales successives de π, mais bien au contraire par les structures qui les animent ou les sous-tendent, par les fils invisibles qui les lient ou les associent, par leur combinaison, leur géométrie, leur origine scientifique.

Nul doute que la littérature potentielle ait de bien beaux jours devant elle !

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