Mathématique et musique: perception auditive et théorie musicale





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3.6 - Du côté de l’Asie du Sud-Est : Indonésie, Thaïlande
La division de l’octave dans ces systèmes est peut-être la plus difficile à décrire pour une oreille occidentale, car leur arithmétique n’est pas connue avec précision. Dans la tradition thaï-khmère, l’octave est répartie en sept « intervalles » égaux, tandis qu’en Indonésie, ce sont 5 intervalles égaux. De fait, aucun intervalle de ces civilisations n’est communs avec les nôtres. Puisqu’une octave chez nous est divisée en douze demi-tons ou six tons plus ou moins égaux (comme on le verra plus loin), les « tons » thaï sont un peu plus petits que les nôtres, les indonésiens étant plus grands. Il est curieux de constater que cette musique n’a pas choisi comme critère esthétique les rapports de fréquence simple (comme c’est le cas chez les Grecs ou chez les Chinois), puisque même la quinte en est absente. Voilà qui porte un coup à la prétendue universalité de la pensée pythagoricienne, et à l’idée que les intervalles consonants sont ceux qui ont un rapport de fréquences simple … Il va sans dire qu’une telle musique doit sonner terriblement « faux » à nos oreilles. Inconsciemment et sans espoir d’y parvenir, celles-ci tenteraient de raccrocher ce qu’elles entendent à ce qu’elles connaissent, le système à douze sons.
3.7 - Musique chinoise
Pour former leur gamme, les Chinois utilisent les 5 premières notes données par le cycle des quintes. Partant de do, on obtient donc sol, ré, la, mi. Mis dans l’ordre, la gamme chinoise pentatonique est do, ré, mi, sol, la (on obtient la même gamme avec les touches noires du piano, ce que les enfants savent bien lorsqu’ils veulent imiter la musique chinoise !). Attention, les intervalles de cette gamme ne sont pas égaux entre eux, contrairement à la gamme indonésienne dont il est question plus haut. Deux notes supplémentaires, si et fa# (6è et 7è quinte) sont également utilisées. Les autres sons parmi l’échelle engendrée par les quintes servent pour la modulation, c’est-à-dire le changement de note de base (tonique). Par exemple, la modulation de do à fa de la tonique donnera la nouvelle fa-sol-la-do-ré.

La musique chinoise, puisqu’elle utilise des notes extraites de l’échelle pythagoricienne connue de nos oreilles, est sans doute la moins difficile à appréhender des musiques asiatiques. Encore une fois, le problème du cycle des quintes n’apparaît pas ici car les modulations ne sont pas poussées à des tons très lointains.
3.8 - Musique occidentale et tempérament
Zarlino ou Pythagore ? Le problème des modulations
Deux échelles ont été vues, celle de Zarlino et celle générée par le cycle des quintes. Rappelons les défauts de cette dernière :

  • la tierce et la sixte ne sont pas « justes »

  • au bout de douze quintes, on arrive un peu trop haut (comma pythagoricien) par rapport au point de départ.


L’échelle « naturelle » de Zarlino comprend une belle tierce et sixte. En revanche, elle est largement déficiente pour les modulations.
La musique occidentale est le plus souvent tonale, c’est-à-dire que les différentes notes d’une mélodie ne prennent leur sens que par rapport à une note (tonique) choisie, dans un passage donné, comme privilégiée. Mais cette tonique peut être variable, et change souvent au cours d’un morceau : c’est la modulation. On peut démarrer une sonate en ré, passer en la, revenir en ré à la fin après un petit passage par sol … Si un morceau ne module pas du tout, la gamme de Zarlino convient. Mais on se rend compte que même la plus simple des modulations, celle à la quinte (de do à sol), pose problème. En effet, l’agencement des tons majeurs et mineurs va changer : en gamme de do, le ton entre do et ré est majeur. En sol, le ton entre sol et la doit donc être majeur pour que la gamme de sol « sonne comme celle de do » ; or il est mineur ! Le phénomène s’aggrave en modulant dans d’autres tonalités plus éloignées, et assez vite, l’échelle de Zarlino n’est plus viable. Elle est essentiellement faite pour jouer dans quelques tonalités ; or la musique européenne, au cours des siècles, a modulé de plus en plus audacieusement.

Il fallait donc s’atteler à une correction du système pythagoricien. Puisque l’équation 3n = 2p n’a pas de solution – le drame de la musique occidentale tient dans cette constatation - toute tentative pour corriger de façon acceptable l’échelle pythagoricienne ne pouvait être qu’une approximation, un compromis. La recherche de ce compromis (appelé tempérament) a été une des principales préoccupations des théoriciens de la musique du XVIè au XVIIIè siècle. Des grands noms de la physique et de la philosophie, comme Huyghens, Leibniz et Helmholtz, y sont attachés.

Le « cahier des charges » comprend au moins trois conditions :

  • permettre des modulations dans toutes les tonalités

  • construire des instruments de musique pas trop compliqués et jouables

  • malgré tout, préserver des intervalles les plus justes possibles, la priorité étant donné à quarte et quinte (3/2 et 4/3), puis tierce majeure et sixte mineure (5/4 et 8/5), puisque ce sont les plus « consonants ».



3.9 - Vers le tempérament égal
On ne s’étendra pas ici sur l’extraordinaire floraison de tempéraments aux XVIè, XVIIè et jusqu’au XVIIIè siècles, qui est en soi un immense sujet de l’histoire de la musique et matière à de nombreux traités. Retenons cependant la généralité suivante : de façon un peu schématique, un tempérament qui veut conserver une bonne justesse ne peut réaliser cette justesse que pour un nombre restreint d’intervalles, et donc un nombre restreint de tonalités, qui sonnent alors magnifiquement (comme on vient de la voir avec l’échelle de Zarlino conçue pour la tonalité de do majeur). En dehors de ces quelques tonalités, catastrophe ! La musique devient vraiment très fausse. Un exemple en est le tempérament mésotonique, qui, en dehors de ses tonalités d’utilisation où les tierces sont belles, génère quelques quintes affreuses, dites « quintes des loups ».

En revanche, un tempérament moins typé, plus consensuel, qui saupoudre la fausseté sur beaucoup d’intervalles qui sont alors presque tous « un peu faux mais pas trop », permettra de conserver une justesse moyenne dans un plus grand nombre de tonalités. Mais la musique n’a alors pas la même qualité que pour les tempéraments plus justes.

Le dilemme est donc : soit faire de la musique avec de très beaux intervalles sans voyager dans les tonalités, soit jouer des intervalles médiocres mais en allant dans toutes les tonalités. C’est cette dernière option qu’a choisi la musique occidentale avec le tempérament égal.
Le tempérament égal est non seulement celui utilisé aujourd’hui pour les instruments à clavier et à frettes (guitares, luths, etc.), mais aussi, finalement, celui de toute la musique occidentale moderne. Il est donc le tempérament « officiel » actuel ; introduit petit à petit du temps de Bach, il est aujourd’hui présent partout autour de nous, de l’orchestre à la boîte de nuit en passant par les pires musiques commerciales : à ce titre, cela vaut la peine d’en savoir plus.

Son principe est simple et d’une froideur toute mathématique : il consiste tout simplement à diviser l’octave en douze parties (demi-tons) rigoureusement égales. Le rapport de fréquence entre deux notes successives de l’échelle est donc un nombre w, qui, élevé à la puissance douze, donne deux, c’est-à-dire w=21/12, environ 1.059.
Pratiquement, il est obtenu à partir du système des quintes par abaissement de celles-ci d’un douzième du fameux comma pythagoricien, afin que le fameux si# redonne un do. Les accordeurs disent qu’on « répartit le comma » sur les douze quintes. On a alors l’identification des notes altérées : mib=ré#, sib=la#, qui donnent les 5 touches noires. Il faut saluer l’exploit que réalisent quotidiennement les accordeurs de piano, car ceux-ci doivent accorder des quintes et des tierces « fausses » au moyen des battements*, et résister à l’appel de la quinte juste : un non-sens pour un violoniste !

A la lumière de ce qu’on a vu plus haut, le tempérament égal est la solution ultime au vieux problème des modulations : il permet toutes les modulations imaginables, un net progrès par rapport aux échelles anciennes. En effet, le cercle des quintes « pas tout à fait justes » fonctionne (lab mib sib fa do sol ré la mi si fa# do# sol#=lab) ; et dans un cercle pas de milieu ! Toutes les notes sont donc équivalentes entre elles : toutes les gammes sont identiques. La transposition, c’est-à-dire la translation d’un morceau à n’importe quelle nouvelle tonalité, est possible sans altération de sonorité. Comme l’écrit Y. Menuhin, le tempérament égal est «cette déformation du parfait que constitue la petite dissonance à peine perceptible, qui nous permet de voyager entre les tonalités » (La Légende du violon ed trucmuche). L’avantage est décisif pour l’exécution d’une musique qui recherche de plus en plus les effets de modulation.

En revanche, le tempérament égal ne satisfait pas du tout à la troisième clause : aucun intervalle du tempérament égal n’est juste (sauf l’octave bien sûr) ! en effet, w est un nombre irrationnel dont les puissances successives ne peuvent pas être égales à des nombres rationnels (=fractionnaires) comme 4/3, 3/2, etc. Par exemple, la quinte est w7/12 (puisque de do à sol il y a 7 demi-tons), qui vaut environ 1.48 et non 1.5, ce qui est tout de même une bonne approximation : la quinte tempérée n’est « pas trop » fausse mais un peu trop petite. En revanche, et c’est un des gros défauts du tempérament égal, les tierces et les sixtes sont mauvaises (présence de battements, facile à entendre sur un piano). C’est pourquoi ce tempérament, si artificiel, eut du mal à s’imposer, car l’avis des « modernes » (qui voulaient moduler) se heurtait aux « traditionnels » qui préféraient la justesse. Les œuvres anciennes (Bach, Couperin, etc.) gagnent sans doute à être entendues sur un clavier accordé comme l’auteur le voulait. Et parions qu’un bon musicien du XVIIè siècle débarquant à notre époque à n’importe quel concert quitterai la salle en hurlant en entendant cette surabondance d’intervalles faux. Difficile à imaginer pour nos oreilles « égalisées », mais l’expérience de s’habituer aux tempéraments anciens quelques jours, puis de repasser au moderne, est édifiante. De nombreux enregistrements de musique ancienne respectent les tempéraments de l’époque (clavecin, pianoforte, etc.)

*entre autres … on se sert aussi de la « couleur accordale », c’est-à-dire le timbre particulier des quintes fausses tempérées. L’accord des claviers est un art subtil.

Le piano (comme tous les instruments à tempérament égal) est donc un instrument intrinsèquement faux. C’est le prix à payer pour un instrument à 12 notes « préfabriquées » permettant la transposition et la modulation faciles. Au contraire, les instruments à cordes sans frette (alto, violoncelle, violon) peuvent générer toutes les notes imaginables par le placement millimétrique (et même moins) des doigts de la main gauche. Un violoniste sait jouer des quintes justes, n’utilise pas le même doigté pour un sol# et un lab, etc. Mais cette maîtrise demande une grande précision : prix à payer pour un instrument « juste » ! Voilà sans doute une des raisons qui a rendu le violon si répandu, adopté par tant de cultures. Sa capacité

à s’adapter à différentes échelles, en particulier en Inde (avec ses intervalles tellement plus

subtils que les nôtres), en fait un instrument quasi-universel, sur lequel presque toutes les échelles peuvent être jouées.
Le tempérament égal, l’échelle à douze barreaux équidistants, règne donc en Occident depuis plus de deux cents ans. Beethoven, Ravel, caveau jazz du bout de la rue, disco de l’autre bout, insupportable musique de Monoprix, fest-noz du samedi soir : sur le plan de l’échelle de base, toutes ces musiques sont sœurs, et, à quelques géniales idées mélodiques ou harmoniques près, se ressemblent bien plus qu’elles ne veulent l’admettre.
Mais ne perdons surtout pas de vue que ce tempérament est un « monstre musical » : il sacrifie la justesse de tous les intervalles, y compris la quinte quasi-sacrée des Anciens, à l’idéal de symétrie, de régularité parfaite de l’échelle. Peut-être que l’échelle pythagoricienne, ou un tempérament ancien un peu plus juste que l’égal, avec leurs défauts, auraient-ils conduit à une musique plus belle, plus variée, moins froide ? En tous les cas, on peut garder en tête que la musique tempérée est problématique, et que le conditionnement qu’elle impose à notre oreille risque de nous fermer les portes d’autres cultures.


3.10 - En conclusion : « l’Harmonie des sphères » et les nombres entiers
Les Pythagoriciens pensaient que la musique devait reproduire la simplicité arithmétique du monde, et que cette simplicité serait un critère de beauté. Cette idée est assez discutable sans doute quand on découvre d’autres civilisations musicales qui se passent fort bien de ces notions. Il n’en reste pas moins que les nombres entiers et leurs rapports ont une grande importance dans la description mathématique de la Nature, puisqu’ils apparaissent dans la solution de nombreuses équations fondamentales : acoustique, comme on vient de le voir, mais aussi mécanique céleste, mécanique quantique, etc. Choses que les Grecs ne connaissaient qu’à peine, dont ils commençaient à avoir l’intuition peut-être. Ce n’est donc pas faire preuve de mysticisme de penser qu’une musique inspirée de phénomènes naturels fondamentaux nous touche plus qu’une autre.

Laissons donc le mot de la fin à Y. Menuhin, racontant un étrange concert dans un champ de fleurs à Mykonos :

« Je m’arrêtai pour écouter ce bourdonnement entêtant quand, soudain, je m’aperçus qu’il ne s’agissait pas d’un bruit confus et désordonné, mais bien au contraire d’un accord secret de la création : les abeilles émettaient deux notes, et qui plus est ces deux notes formaient une quinte.

Je ne sais comment analyser ce prodige de la nature. Toujours est-il que la recherche de la quinte semble constituer une nécessité primitive de l’univers : nous émettons et nous recevons des vibrations. Ces vibrations obéissent à un ordonnancement secret. Une harmonie occulte se met en place. Certains prétendent même que les intervalles des planètes, c’est-à-dire les distances qui les séparent les unes des autres, sont en correspondance intime avec les intervalles de la musique : quintes, tierces, octaves ne seraient que des images musicales des intervalles célestes. »
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Bibliographie :
"La légende du violon", Y Menuhin, Flammarion

"La musique : un sens à retrouver", de Roland de Candé, Bang & Olufsen
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