Mathématique et musique: perception auditive et théorie musicale





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3 - Les systèmes musicaux, ou : arithmétique et musique
La musique est un exercice d’arithmétique secrète, et celui qui s’y livre ignore qu’il manie les nombres. (Leibniz)
Dans toutes les civilisations les musiciens ont sélectionné, consciemment ou non, des fréquences privilégiées dans l’infini de toutes les hauteurs de son possible (de 20 à 20.000 Hz). C’est a priori étonnant : imaginons l’équivalent en peinture, où l’on déciderait que seules un nombre restreint de couleurs est autorisé ! C’est qu’en musique, une partie des émotions, de la tension, que le musicien recherche, naissent de la succession dans le temps des notes, ou de leur émission simultanée, bref d’intervalles. Or certains intervalles semblent susciter plus d’émotion, de tension que d’autres, ou sont jugés plus agréables. Ces intervalles sont retenus, et des échelles (=nombre limité de notes sélectionnées) sont ainsi constituées.

Chaque civilisation a, à sa manière, poursuivi un but esthétique dans sa recherche d’intervalles. Nous allons ici décrire les méthodes et les raisons possibles qui ont conduit à adopter telle ou telle échelle, en voyant comment la physique pourrait expliquer ces choix (souvent a posteriori, puisque la physique a souvent progressé après la musique). Notons tout de suite que la psycho-acoustique (domaine de la physique qui s’intéresse à la perception des sons, par étude des mécanismes de l’oreille interne entre autres) n’est pas unanime : ce qui est exposé ici sont des possibilités d’explications et n’est pas formellement prouvé.

Après une revue des intervalles importants, nous verrons qu’il existe dans le monde quelques grandes régions musicales bien définies, qui ont chacune leur échelle propre, et que notre échelle à douze demi-tons n’est ni universelle, ni évidente, mais au contraire très problématique.
3.1 - Le cadre universel de l’échelle : l’octave
Le premier intervalle qui va nous occuper est l’octave, ainsi nommée car elle correspond au huitième degré de la gamme occidentale. Tout le monde (et même sans doute les animaux *) s’accorde à trouver une ressemblance profonde et troublante entre, par exemple, un do4 et un do5, séparés d’une octave. Au piano, lorsqu’on veut amplifier une mélodie, on la double à l’octave. Le piano est d’ailleurs conçu pour que l’empan d’une main moyenne couvre une octave. A l’orchestre, les contrebasses soutiennent souvent les violoncelles à l’octave du dessous. Pourquoi ce sentiment que deux notes séparées d’une octave sont si semblables ?

Une réponse probable est donnée par le fameux théorème de Fourier. Rappelons-nous qu’un do4 joué par un piano par exemple, contient en lui une superposition d’harmoniques, dont la première est justement, le do5 (double de la fréquence). En y regardant de plus près, on s’aperçoit même que le do5 joué au piano contient une bonne partie des harmoniques (les harmoniques paires  : 2f, 4f, 6f, etc.) du do4. Autrement dit : le do4 contient en lui toutes les harmoniques du do5, plus quelques autres. Bref : du point de vue de l’analyse de Fourier, une note et son octave supérieure sont quasiment sœurs jumelles … Il n’est donc guère étonnant que tous les systèmes musicaux prennent l’octave comme barreau obligatoire de leur échelle de base.
Pour construire une échelle, toute la suite des opérations consiste à diviser cette octave en plusieurs intervalles. Une échelle sera donc un ensemble de notes compris dans une octave. Par décalage d’une ou plusieurs octaves, on déduit toutes les notes « autorisées » par le système.
* on rapporte que certains oiseaux chanteurs reproduisant une mélodie transposent à l’octave lorsqu’elle devient trop aiguë pour eux.


3.2 - Un intervalle fondamental : la quinte et son homologue, la quarte
En explorant les différentes traditions musicales, on s’aperçoit encore de l’importance accordée à deux autres intervalles : la quinte, ainsi nommée parce qu’elle correspond au 5è degré d’une gamme occidentale (intervalle do-sol), et la quarte, 4è degré, sol-do. Leur justesse est relativement facile à percevoir, c’est sans doute pour cela que ces deux-là servent d’intervalles de base pour accorder de nombreux instruments (violon, alto, violoncelle à la quinte, contrebasse à la quarte, guitare presque entièrement à la quarte, etc.).

Que nous dit l’acoustique là-dessus ? La quinte juste correspond à un rapport de fréquence de 3/2=1.5. Partant de l’observation que quarte et quinte sont complémentaires (c’est-à-dire que quinte+quarte=octave ; on dit aussi que la quarte est le renversement de la quinte), on en déduit le rapport de fréquence de la quarte, 4/3. Souvenons-nous en effet que notre perception logarithmique transforme les multiplications en additions. La traduction arithmétique de « quinte+quarte = octave » est donc « 3/2 X 4/3 = 2 ».

L’analyse de Fourier nous donne une fois de plus une indication pour comprendre pourquoi la quinte apparaît si plaisante : la deuxième harmonique du do4 est un sol5 (fréquence triple) : en ramenant à l’octave inférieure (ce qui revient à diviser par deux), on obtient effectivement un rapport entre do4 et sol4 de 3/2. Autrement dit, il y a des harmoniques communes aux deux notes do4 et sol 4. Ces similitudes facilitent l’accord par le phénomène de battement entre harmoniques : si la quinte n’est pas parfaite, l’oreille perçoit des battements désagréables qui proviennent de la superposition d’harmoniques très proches mais non égales. Ces battements sont des va-et-vient de l’intensité de l’accord, sorte de wawawa, et nous font tout de suite dire : « c’est faux !! ». Le ralentissement et, à terme, l’annulation de ces battements permet au violoniste, par approches successives, d’obtenir une quinte parfaitement juste. Ainsi, la notion de « justesse » serait directement reliée à l’absence de battements entre harmoniques*.

On peut se demander comment, autrefois, les hommes qui n’avaient pas idée de la nature périodique du son pouvaient savoir que le rapport entre un do et un sol est 3/2. En fait, ils mesuraient ces rapports à la longueur des objets résonnants (roseaux, tubes, corde, etc.). La notion d’intervalle étant ramenée à une simple mesure de distances, les musiciens sont depuis longtemps conscients de l’importance de l’arithmétique pour la formation d’intervalles consonants. Par exemple, les Chinois confectionnaient soigneusement des tuyaux sonores pour fixer des quintes justes.
* Cependant, des expériences ont montré que des individus écoutant des intervalles de sons « purs », donc sans harmoniques, appréciaient la quinte … Cette explication n’est donc peut-être pas suffisante. La justesse comme « absence de battements » est une définition sur laquelle les psycho-acousticiens ne sont pas unanimes !
3.3 - Tierce et sixte 
Un autre intervalle très « consonant » est la tierce, et son complémentaire, la sixte. Il en existe de deux sortes : la tierce majeure (do-mi), renversement de la sixte mineure (mi-do), et la tierce mineure (do-mib ou la-do), renversement de la sixte majeure (do-la). Encore une fois, l’analyse des harmoniques fournit le rapport de fréquences. Reprenant la série des harmoniques du do4, on constate que la 5è harmonique est le mi6. Ce mi ramené deux octaves plus bas, nous obtenons que do4-mi4 est un rapport 5/4. Par renversement, la sixte mineure est un rapport 8/5. Pour obtenir la sixte majeure do-la, on construit le la en montant d’une quarte au-dessus du mi, ce qui donne un intervalle de 5/3 puisque 5/4 X 4/3=5/3 (tierce maj+quarte=sixte maj). Ce serait toujours à cause de la présence de battements entre harmoniques que ces intervalles sont faciles à percevoir comme justes ou non.

Remarquons que l’association d’un note, de la tierce majeure et de la quinte supérieures forment « l’accord parfait majeur » (do-mi-sol), l’accord à trois sons le plus consonant qui existe, adopté d’ailleurs par la plupart des gares et aéroports du monde.
3.4 - L’échelle de Zarlino ou échelle harmonique
En ajoutant encore le ton (do-ré, 9/8, tiré de la 9è harmonique) et la septième majeure (do-si, 15/8, provenant de la 15è harmonique), on obtient sept notes qui forment la gamme majeure « naturelle » ou gamme de Zarlino : do-ré-mi-fa-sol-la-si, qui a le mérite de ne faire appel qu’aux intervalles arithmétiquement parmi les plus simples, inspirés par les harmoniques du fondamental do. C’est la gamme naturellement utilisée par les instruments à vent, dont le principe physique est précisément la recherche d’harmoniques dans une colonne d’air en vibration.

Si on y regarde de plus près, cette gamme présente les intervalles suivants :

Do-ré=ton majeur=9/8 ; ré-mi=ton mineur=10/9 ; mi-fa=demi-ton diatonique=16/15 , fa-sol=ton majeur ; sol la=ton mineur ; la-si=ton majeur ; si-do=demi-ton diatonique. Remarquons qu’il y a deux sortes de tons, ce qui posera problème par la suite …

Le cycle des quintes et l’échelle pythagoricienne, les lyu chinois
2, 3/2, 4/3, 5/4, 6/5 … : jusqu’ici, les rapports de fréquence des intervalles adoptés sont particulièrement simples, simplicité qu’on peut attribuer au théorème de décomposition en harmoniques de Fourier. C’est partant de cette idée que les Pythagoriciens et les Chinois (au moyen des lyu, tuyaux sonores) ont fondé leur théorie musicale, donnant naissance à l’échelle du « cycle des quintes », qui est, à quelques modifications laborieuses près, la nôtre de nos jours.

On peut se demander comment, autrefois, les hommes qui n’avaient pas idée de la nature périodique du son, et ne pouvaient mesurer de fréquence, pouvaient relier un intervalle à une nombre. En fait, ils mesuraient ces rapports à la longueur des objets résonnants (roseaux, tubes, corde, etc.). Par exemple, un tuyau deux fois plus long, à diamètre égal, donne un son d’une octave plus bas. La notion d’intervalle étant ramenée à une simple mesure de distances, les musiciens sont depuis longtemps conscients de l’importance de l’arithmétique pour la formation d’intervalles consonants. Par exemple, les Chinois confectionnaient soigneusement des tuyaux sonores pour fixer des quintes justes.

Comment les Anciens ont-ils donc fixé leur échelle ? L’idée est de garder le plus simple des rapports, la quinte, pour la génération de toutes les notes de l’échelle. Dans la physique des Pythagoriciens en effet, le monde est soumis à des lois arithmétiques utilisant des nombres entiers et leurs rapports. Une musique qui respectaient ces mêmes rapports ne pouvait qu’être

belle …

Voici donc comment procéder : puisque la quinte est un intervalle juste et simple, alors sans doute deux quintes d’affilée donnent également un intervalle sympathique : partant du do4, on obtient ré5. En ramenant à l’octave inférieure, on a l’intervalle do4-ré5, caractérisé par un rapport 9/8 (on retrouve le ton majeur de la gamme de Zarlino). Une nouvelle quinte donnera le la, et ainsi de suite : par quintes successives ramenées à la bonne octave, on génère une famille de note dont le rapport au do de base sera de la forme 3n/2p. Une quantité de superbes intervalles tout propres, à partir de deux chiffres, 2 et 3 ! Presque trop beau pour être vrai.

Regardons ce que donne la série complète, aidé d’un piano par exemple : do, sol, ré, la, mi (ne pas oublier de revenir à l’octave inférieure), si ; par application des quintes vers le bas, do donne fa, puis sib, mib, … Remettons dans l’ordre la première quinte descendante et les 5 premières montantes : do ré mi fa sol la si, les sept notes blanches du piano, la gamme majeure usuelle en Occident !

Mais les ennuis vont commencer …

Car le mi généré selon ce processus est à un rapport de fréquence 81/64 et non 5/4 au-dessus du do : ce système ne donne pas une tierce juste ! Même problème pour la sixte do-la, qui vaut 27/16 et non 5/3. Quel mi choisir ? Le plus simple ? ou le pythagoricien, un peu plus compliqué et donc sans doute moins « beau » ? Faut-il privilégier une belle tierce, ou garder l’harmonie des quintes et une tierce discutable ? Encore une fois, rappelons que le problème est bien réel, car les différences entre ces intervalles sont bien audibles par n’importe quelle oreille, qui risque d’être « gênée » par la médiocre tierce pythagoricienne.

Continuons après le si : fa #, do#, sol#, ré#, la#, les cinq notes noires. En termes de rapport de fréquence, on a certes des fractions basées sur 2 et 3, mais de moins en moins simples : de do à la#, il y a un rapport 59049/32768 … Poursuivant tout de même notre ronde des quintes, nous arrivons, au-dessus de la#, à mi#, puis, à la douzième quinte, si#.

Si# …vague malaise : en solfège, n’a-t-on pas appris qu’ « un si#, c’est un do» ? Au piano, en tous cas, on n’a pas prévu deux touches et on revient bien au do. Regardons ce qu’en dit l’arithmétique : le rapport de fréquence entre si# et do est

312/219 =531441/524288=1.014,

qui en aucun cas ne vaut 1, même s’il en est proche. Un si#, c’est donc un do un peu faux, un peu trop haut … mais pas un do. L’intervalle ainsi défini (qui est le même qu’entre mi# et fa, la# et sib, etc.) est le comma pythagoricien, parfaitement discernable pour une oreille attentive.

On aurait bien aimé retomber sur le do - et sur nos pieds -, car alors la suite des quintes aurait généré un système fermé, qui mériterait alors le nom de cycle ! On aurait eu douze notes équivalentes entre elles (pas de note privilégiée puisque le système est cyclique), répartis régulièrement sur une échelle homogène. Est-ce à dire qu’il faille aller plus loin pour boucler ? Certains théoriciens chinois l’ont tenté, en poursuivant la série jusqu’à la soixantième quinte, et même (du point de vue théorique au moins) la 666è et 25824è, en argumentant sur des nombres présents dans leur théories cosmologiques … Peine perdue : l’équation 3n = 2p n’a de solutions qu’approchées : multiplier 3 par lui-même donne un nombre impair, tandis que les puissances de 2 sont paires : comment un nombre impair serait-il égal à un nombre pair ?

Il faut se rendre à l’évidence : on est dans une impasse. Boucler le « cycle des quintes », c’est-à-dire retomber sur la note de départ après applications de quintes, est mathématiquement impossible. Le cycle des quintes justes n’existe pas.
Que faire ? Arrivés à ce point-là, au moins deux solutions sont envisageables : soit on ne cherche pas d’échelle régulière et on abandonne l’idée du cycle, soit on bricole un système un peu bancal qui permette le bouclage du cycle tout en préservant quelques intervalles justes … Si la musique occidentale (entre autres) a choisi la très périlleuse deuxième voie, d’autres civilisations musicales ont procédé tout à fait différemment.
3.5 - Musiques indienne et arabe
La tradition musicale classique de l’Inde, très stable puisqu’elle n’a quasiment pas varié en plusieurs millénaires, divise l’octave en 22 intervalles (non égaux) ou shruti, chacun portant un nom et caractérisés, comme toujours, par des rapports arithmétiques. Les rapports choisis sont tous relativement simples, et comprennent quelques intervalles maintenant bien connus : quinte, quarte, tierces et sixtes « justes », tierces et sixtes pythagoriciennes, plus quelques autres notes ne faisant pas partie des intervalles pythagoriciens.

Il est clair qu’un instrument typiquement européen comme le piano ne permet pas de pratiquer cette musique, qui exige 10 notes de plus que la nôtre ! Une personne occidentale écoutant de la musique indienne risquera de trouver certains intervalles faux, ou n’appréciera pas certaines subtiles nuances entre intervalles voisins mais non identiques. Avec son conditionnement à douze sons, notre oreille n’est pas mûre pour la musique indienne.

Parmi les 22 shruti, tous ne sont pas utilisés par un morceau donné, mais une sélection de 7, ou gamme. Une très grande quantité de gammes est possible ; un choix, donnant d’ailleurs une gamme majeure occidentale, par exemple, est de prendre les 1er, 5è, 8è, 10è, 14è, 18è, 21è. Pourquoi la musique indienne n’est-elle pas gênée par le problème du cycle des quintes ? D’une part, elle a coupé court aux hésitations entre les différentes tierces et sixtes possibles puisqu’elle les a adoptées toutes. D’autre part, cette musique n’a pas besoin de transposition ni de modulation, et s’accommode bien d’intervalles irréguliers.

Quant à la musique arabe, qui a été influencé par l’indienne, elle est basée sur une échelle de 17 sons tirés parmi les 22 shruti, après élimination des numéros 3, 7, 11, 17, 21 (qui ne sont pourtant pas les plus compliqués).
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