Mathématique et musique: perception auditive et théorie musicale





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Mathématique et musique: perception auditive et théorie musicale.
Par François Chamaraux
Texte paru dans Paroles d’Anches 31 et 32, novembre 2003 et janvier 2004.


Motivation
La théorie musicale jouit d’une sinistre réputation. Souvent qualifiée d’abstraite car faisant appel aux nombres, inutile au commun des musiciens amateurs, bref rébarbative, elle offrirait la possibilité exceptionnelle de perdre son temps avec des notions touffues et inintéressantes.

Comme souvent, presque tous ces lieux communs sont vrais : oui, la théorie musicale fait appel aux nombres . Oui, elle est abstraite. Enfin, elle est quasiment inutile à qui veut pratiquer la musique.

Deux remarques ont cependant leur importance : ce n’est pas parce qu’on est abstrait qu’on est incompréhensible, et d’une ; ce n’est pas parce qu’on est inutile qu’on est inintéressant, et de deux.
Je vois la théorie musicale par rapport à la musique un peu comme l’étymologie par rapport à l’apprentissage d’une langue, ou l’histoire des sciences par rapport à la pratique de la science. Inutile sur le plan technique (pas besoin de savoir de quelle racine vient tel ou tel mot pour le prononcer, ni qui était Lavoisier pour faire de la chimie de pointe). Mais combien intéressante, et enrichissante. Et au fond pas si inutile, comme toujours quand il s’agit de savoir ce qu’il se passait avant notre venue au monde. Ne serait-ce que pour savoir à qui on doit d’en être arrivé là.
Avant d’en arriver au divorce actuel, musique et mathématiques étaient très proches, à tel point que les deux activités étaient confondues dans certaines civilisations (Chine, Grèce ancienne par exemple). Cet exposé a donc pour but de faire comprendre que la théorie musicale n’est pas un ensemble de règles arbitraires, de nombres magiques jetés les uns à côté des autres. Au contraire, elle suit un ordre imposé en partie par des constatations physiques, physiologiques et mathématiques, en partie par des critères subjectifs plus mystérieux. Ensuite, je voudrais montrer que la musique occidentale dans laquelle nous baignons depuis la naissance, qui nous paraît si naturelle, est un cas particulier de système possible. Elle n’a rien d’inéluctable, rien d’universel, car elle est l’aboutissement de longues recherches arithmétiques, qui ont motivé de nombreux physiciens et mathématiciens. Pis que ça : ce système a ses incohérences, ses zones d’ombre, il est bien loin de la perfection ! Il serait dommage de ne pas connaître ses faiblesses et intéressant de savoir quels sont ses points forts.
Cet exposé est le point de vue d’un physicien étudiant le phénomène de la musique. Je resterai donc axé sur un point de vue physique. J’ai tenté de rester le plus simple et le plus progressif possible, avec un minimum de calculs, mais en utilisant certaines notions compliquées.
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1 Acoustique musicale ; qu’est-ce qu’une note ?

2 Mathématiques de l’oreille

3 Les systèmes musicaux, ou : arithmétique et musique

1 - Acoustique musicale : qu’est-ce qu’une note ?
1.1 - Le son
Du point de vue physique, un son se définit simplement comme une perturbation mécanique dans un milieu matériel : air, eau, métal, caoutchouc, bois … Ce qui veut dire qu’à l’origine d’un son, il y a toujours mouvement. On peut même dire : mouvement et son sont indissociables.

Quelle est la nature de cette perturbation mécanique ? comment la mesure-t-on ?

Pour se représenter un son, imaginons un long ressort tendu à l’horizontale. Si l’on agite horizontalement le ressort à une extrémité, on verra une perturbation se propager le long du ressort jusqu’à l’extrémité opposée, et même rebondir pour revenir à l’envoyeur. Au niveau de la perturbation, les spires sont plus rapprochées que dans la partie au repos, suivie d’une zone où elles le sont moins. Ce qui se propage dans le ressort est dont une onde de compression des spires.

Le son est également une onde de compression où l’air joue le rôle du ressort : une source, par exemple un haut-parleur qui vibre, comprime et dilate alternativement l’air, qui devient plus (ou moins) dense. Cette compression-dépression se propage rapidement dans l’air (un km en trois secondes). Une oreille ou un micro placée dans l’air sentira au cours du temps la pression monter et descendre autour de la valeur moyenne de l’air au repos. On peut également faire l’analogie avec un raz-de-marée sur l’océan : l’onde est alors la hauteur du niveau d’eau, qui varie de part et d’autre du niveau moyen, et se propage vers la plage. Une bouée placée sur l’eau verra, au cours du temps, le niveau osciller.

Le son est donc un phénomène propagatif, au même titre que de très nombreuses autres manifestations naturelles : onde dans une corde à sauter, tremblement de terre, propagation de la chaleur dans une cuiller plongée dans la soupe, phénomènes d’embouteillage « en accordéon » …
1.2 - Qu’est-ce qu’une note ? Ses quatre caractéristiques.
Alors que les sons sont des ondes de forme quelconque, une note de musique est un son bien particulier, car elle correspond à une onde périodique ou du moins quasi-périodique. Si on visualisait une note de musique (graphe donnant la pression de l’air en fonction du temps), on verrait donc une courbe se répétant presque parfaitement dans le temps. Plutôt qu’un raz-de-marée, une note est un train de vagues bien régulier. Une des courbes périodiques les plus connues et d’une grande importance en mathématiques est la sinusoïde, qui monte et descend régulièrement, aux belles formes lisses. Elle correspond au son « pur » et laid d’une sonnerie de téléphone portable par exemple, ou d’une alarme de voiture. « Pur » est ici à prendre au sens mathématique et non esthétique …

On apprend en classe de solfège qu’une note est entièrement définie par quatre paramètres : durée (long ou court), intensité (fort ou faible), hauteur (aigu ou grave), timbre (la « couleur » de la note : ce qui fait qu’on distingue un violon d’un piano et d’une flûte, un « o » d’un « ou », etc.). Sur le plan physique, à quoi correspondent ces paramètres ?

- Pour la durée, c’est clair : il s’agit de la longueur dans le temps du train d’onde.

- L’intensité est reliée à l’amplitude des vibrations sonores, en termes de valeur plus ou moins élevée de la pression des ondes qui parviennent au tympan.

- La hauteur d’une note correspond à la fréquence, c’est-à-dire à la vitesse avec laquelle la vibration périodique se répète. Elle est donc exprimée en « cycles par seconde » ou hertz (Hz). Par exemple, le « la 440 » ou la4 du diapason correspond à 440 allers et retours des branches du diapason en une seconde. Evidemment, cette vibration est trop rapide pour l’œil qui ne voit plus rien de net au-delà de 25 images par seconde.

Une corde mise en mouvement par l’archet, le marteau ou le doigt, émet une note dont la fréquence dépend de sa tension, sa longueur et sa masse. Une colonne d’air dans un tube, mise en mouvement par un souffle d’air, sort une note dépendant des dimensions du tube, de la température de l’air. Finalement, quasiment n’importe quel phénomène mécanique périodique engendrera une note, d’autant plus aiguë que le phénomène est rapide : une mouche battant des ailes à 880 coups par seconde donnera un la5, un si5 à 990, une fermeture éclair fait un « zip » d’autant plus aigu qu’on la manipule vite, un portail mal graissé rentre en vibration et couine, etc. En cherchant bien, notre vie quotidienne est remplie de notes de musique : il n’est pas bien difficile d’engendrer un son de hauteur quelconque.

- Quant au timbre : c’est avec lui que se révèle toute la complexité d’une note ! Car le timbre correspond à la forme de l’onde acoustique : est-elle une sinusoïde ou bien en forme de dents de scie ou de créneaux ? ou a-t-elle une forme très tourmentée couvert de petits pics ? Les sons simples comme la sinusoïde nous paraissent plats et inintéressants, tandis que les sons riches (instruments de musique, voix humaine, oiseaux, etc.) sont des signaux très complexes. Nous voilà rassurés : une note, source d’émotions, ne se réduit pas à 4 froides données mathématiques. Si les trois premières caractéristiques correspondent en effet à un simple nombre, ce n’est pas le cas du timbre qui contient énormément d’informations ! On va cependant voir comment mieux caractériser, du point de vue acoustique, ce timbre.
1.3 - Les séries de Fourier théorisent le timbre
En étudiant d’autres phénomènes de transmission d’onde (la chaleur dans une barre métallique), Joseph Fourier en vint à prouver que tout phénomène périodique de fréquence f est la superposition de sinusoïdes de fréquence f, 2f, 3f … En prime, il donnait une méthode pour trouver cette décomposition. On a du mal à imaginer la portée de ce théorème qui a envahi quasiment tous les domaines de la physique et des mathématiques. Dans notre cas, ce théorème affirme que n’importe quelle note, même complexe, sera la superposition de sons « purs » (=sinusoïdaux), nommés harmoniques : la première harmonique est de fréquence f, on l’appelle le fondamental car c’est la note qu’on entend. Par-dessus viennent une note deux fois plus aiguë, trois fois plus aiguë, etc. Prenons l’exemple du do4 (le do situé juste sous le milieu du piano, qui correspond au do aigu pour un homme, au do grave pour une femme).

Fondamental : do4 ;

Fréquence double (première harmonique) : do5 (le do situé au-dessus du do4) ;

Fréquence triple (deuxième harmonique) : sol5 ; fréquence quadruple, do6, puis mi6, sol6, etc. (Nous verrons plus loin pourquoi les intervalles entre harmoniques se rétrécissent de plus en plus.). Avec un peu de concentration, on entend facilement ces harmoniques (au moins les trois ou quatre premières) sur un piano, et les instrumentistes à cordes les utilisent souvent pour générer des notes aiguës. Elle sont à la base du principe de certains instruments à vent, et de ces chants étranges où le musicien semble émettre plusieurs notes à la fois.

Et c’est le « dosage » de ces harmoniques qui détermine le timbre ! La différence entre un la de clarinette et le même la d’alto dépend donc de la proportion entre les différentes harmoniques. En somme, le fondamental donne la hauteur d’une note, et les harmoniques lui donnent sa couleur.

La « recette » pour fabriquer un son complexe à partir de ses harmoniques est une série de nombres appelée série de Fourier, donnant la puissance à attribuer à chaque harmonique. (exemple : 50 dB de fondamental,10 dB de première harmonique,  12 dB de deuxième, etc., encore loin si besoin est). Cette série, ou spectre, est la signature du timbre d’une note. Elle permet aux synthétiseurs de générer, à partir de sons plats et inintéressants pris isolément, les sons complexes des différents instruments, avec plus ou moins de succès d’ailleurs. Un cocktail bien fait de sinusoïdes toutes bêtes donnerait la sonorité d’un Stradivarius ? En théorie, oui ; en pratique, la complexité de ces sons est tellement grande qu’on a bien du mal à les reproduire (on écoutera l’option « violon » d’un synthé pour s’en convaincre … Effrayant.).
1.4 - La musique assassinée ?
Encore une fois, on peut objecter qu’on tue la poésie à coups de mathématiques, qu’on réduit des émotions à des chiffres : refrain entendu parfois chez les musiciens à qui on parle de physique. Tordons le cou à ce mythe irrecevable. C’est insulter la musique de croire qu’elle se fait dépouiller de son mystère par quelques équations : elle est à des kilomètres au-dessus ! Ce n’est pas en donnant la hauteur ou la date de construction d’une église qu’on tuera l’émotion qu’on ressent en entrant dedans. La physique et les mathématiques, comme toujours, donnent certaines clefs pour comprendre le monde réel, guère plus. Le tout est sans doute de ne pas se limiter à ce genre de considération numérique quand on s’intéresse à la nature ou aux êtres humains … Restons poètes !

2 - Mathématiques de l’oreille
L’oreille humaine peut percevoir des sons dans une gamme extraordinairement large d’intensités et de fréquence : le son le plus fort acceptable, au seuil de la douleur, est, en termes d’énergie reçue par le tympan, 100.000.000.000.000 de fois plus puissant que le plus faible perceptible !! Peu de détecteurs artificiels ont une telle gamme d’utilisation. Si on s’intéresse aux fréquences, on observe que le son le plus aigu audible a une fréquence de 10.000 à 20.000 Hz selon les personnes (par exemple : sifflement de la télé, cris suraigus de certaines chauves-souris et certains oiseaux …), le plus grave 20 Hz, soit un rapport de près de 1000. Comment expliquer cette performance remarquable ?
2.1 - Perception différentielle ou logarithmique
Le secret de l’oreille est le caractère logarithmique ou différentiel de sa perception. Pour comprendre la transformation du son en sensation, il faut d’abord se familiariser avec les logarithmes.

Hum … Rassemblons nos souvenirs ou déterrons notre vieille calculatrice pour tester le log sur les puissances de 10 : log 1=0 ; log 10=1 ; log 100=2 … log 1.000.000=6. On a bien l’impression que log donne le nombre de zéros derrière le 1 … C’est effectivement ça. Pour les autres nombres, ce sont des valeurs non-entières, pour lesquels on a besoin de la définition officielle du log : par exemple, 2 est entre 1 et 10 ; alors log 2 est quelque part entre 0 et 1 (il vaut 0.3 environ). Une des propriétés du log est d’« aplatir » terriblement les écarts entre les grands nombres et d’amplifier les écarts entre les petits. Par exemple, log voit la même différence entre 1 et 10, d’une part, qu’entre 0.01 et 0.1, ou 1.000 et 10.000 d’autre part. Autre exemple : sur une échelle logarithmique, 100 se situe à mi-chemin entre 10 et 1000, et pas du tout entre 0 et 200 comme avec une échelle linéaire (celle dont on a l’habitude).
2.2 - Etrange…
Mais c’est probablement ainsi que marche l’oreille. Sans entrer dans les mécanismes biophysiques (encore mal connus et activement étudiés) de transduction du signal sonore en signal nerveux, nous savons que la sensation auditive est à peu près proportionnelle au logarithme de l’intensité du son incident. C’est pourquoi l’unité utilisée, le décibel (dB), est basée sur le logarithme de la puissance acoustique incidente*. Ce qui veut dire que la sensibilité de l’oreille est bien plus grande pour les sons de faible amplitude que pour les sons très intenses. L’oreille « entend » la même différence de niveau sonore (6 dB) entre 1 et 2 violons qu’entre 100 et 200 violons ! Et non pas entre 100 et 101 violons : sauf fausse note, qui serait capable de distinguer un crincrin supplémentaire arrivant dans un groupe de cent ? Autre exemple : comme, pour les logarithmes, 100 est entre 10 et 1000, un chœur de 100 personnes donne une sensation d’intensité intermédiaire entre un de 10 et un de 1000 personnes.
2.3 - Réfléchissons …
C’est assez commode et finalement assez logique : du point de vue évolutif, il ne sert à rien pour un animal (qui cherche à manger et qui veut échapper aux prédateurs) d’entendre de subtiles nuances dans un son qui est de toutes façons très fort (ours affamé à 1m), mais ce sera intéressant pour déceler une proie à 1 km ! En bref : l’oreille traite grossièrement les gros sons et finement les sons fins.

Le résultat final qu’on retiendra, c’est-à-dire la traduction mathématique des exemples donnés, est le suivant : une multiplication dans le monde habituel se transforme en addition dans le monde des logarithmes. Si je multiplie par deux le nombre de sources de bruit (passage de 1 à 2 ou de 100 à 200, peu importe), j’ajoute une nombre fixe de dB (6 environ). Si je divise par deux, je retranche un nombre fixe de dB. Voilà pourquoi il est difficile de se débarrasser du bruit d’une autoroute : si vous habitiez à 100 m de l’A1 (50 dB) et vous déménagez à 200 m, vous ne perdez que 6 malheureux décibels … il faudra se mettre à 400 m pour en perdre 6 autres, 800 m pour en perdre en tout 24, ce qui en laisse tout de même 26 … Sauf colline ou vent favorable, ce n’est qu’à plusieurs km qu’on aura à peu près la paix.
Pour des raisons qui restent un peu mystérieuses, la perception des hauteurs de sons obéit à la même loi. Par exemple, l’oreille interprète l’écart (ou intervalle) entre 100 et 200 Hz comme équivalent à l’intervalle entre 200 et 400 Hz. Par conséquent, ce qui sera fondamental pour la perception des intervalles est, non pas la différence, mais un rapport de fréquences.

Ce sont ces rapports de fréquences que nous allons explorer maintenant.
* S=10 log P/P0, où P0 est la puissance minimale audible.

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